ആമുഖം

കോമ്പസ്സും റുളറും ഉപയോഗിച്ച് ഒരു കോണിനെ മൂന്നുസമഭാഗങ്ങളാക്കാമോ എന്നത് 2000 വര്‍ഷങ്ങളോളം പഴക്കമുള്ള ഒരു ചോദ്യമാണിത്. കേള്‍ക്കുമ്പോള്‍ വളരെ ലളിതമല്ലേ എന്നു തോന്നുമെങ്കിലും അത് അസാദ്ധ്യമെന്നാണ് കഴിഞ്ഞ നൂറ്റാണ്ടില്‍ തെളിയിച്ചത്. ഇതു മാത്രമല്ല ഒരു ക്യൂബിന്റെ ഇരട്ടി വ്യാപ്തമുള്ള മറ്റൊരു ക്യൂബ് നിര്‍മ്മിക്കാനാവില്ല. ഒരു വൃത്തത്തിന്റെ അതേ വിസ്തീര്‍ണ്ണമുള്ള മറ്റൊരു സമചതുരം നിര്‍മ്മിക്കാനാവില്ല. ഇങ്ങനെ അനവധി അസാദ്ധ്യമായ ഗണിതപ്രശ്‌നങ്ങളുണ്ട്.

എന്നാല്‍ പരമാവധി കൃത്യതയില്‍ റൂളറും കോമ്പസസ്സും ഉപയോഗിച്ച് ഒരു കോണിനെ മൂന്ന് തുല്യഭാഗങ്ങളാക്കാമെന്ന് നോക്കാം.

നിര്‍മ്മാണം

1.നമുക്ക് ഒരു രേഖാഖണ്ഡത്തെ മൂന്നു തുല്യഭാഗങ്ങളാക്കാന്‍ സാധിക്കും.

2.180 ഡിഗ്രി അളവുള്ള കോണിനെ നമുക്ക് മൂന്നു 60 ഡിഗ്രിയുള്ള കോണുകളാക്കാം.

3.90 ഡിഗ്രിയുള്ള കോണിനെ ഒരു 60 ഡിഗ്രിയും ഒരു 30ഡിഗ്രിയും ആക്കിമാറ്റാം.

ഈ മൂന്നും തന്നിട്ടുള്ള കോണിന്റെ ഉള്ളില്‍ കൊണ്ടുവന്ന് ആ കോണിന്റെ ചാപത്തെ മൂന്നു തുല്യഭാഗങ്ങളാക്കാകുകയാണ് ഈ രീതി.

ഇതിനുവേണ്ടി ആദ്യം തന്നിട്ടുള്ള കോണിനെ രണ്ടായി സമഭാഗം ചെയ്യുന്നു. തന്നിട്ടുള്ള കോണ്‍ PQR ആണെന്നു സങ്കല്പ്പിക്കുക. PQR നെ രണ്ടായി സമഭാഗം ചെയ്യുക. Q കേന്ദ്രമായി ഒരു ചാപം വരക്കുക. ഈ ചാപം PQനെ U ലും QR നെ V ലും ഖണ്ഡിക്കുന്നു. ഈ ചാപം PQR ന്റെ സമഭാജിയെ W ല്‍ ഖണ്ഡിക്കുന്നു.

Q കേന്ദ്രവും 3QW ആരവുമായി ഒരു ചാപം കൂടി വരക്കുക. ഈ ചാപം PQ നെ D യിലും QR നെ E യിലും ഖണ്ഡിക്കുന്നു. ഇപ്പോള്‍ DE എന്നത് 3 UV ആയിരിക്കും. അങ്ങനെ രേഖാഖണ്ഡം DE യെ നമുക്ക് EB, BA, AD എന്ന് മൂന്നായി സമഭാഗം ചെയ്യാം.

DE കോണിന്റെ സമഭാജിയെ C യില്‍ ഖണ്ഡിക്കുന്നു. എന്നു കരുതുക. C കേന്ദ്രവും CD ആരവുമായി ഒരു വൃത്തം വരക്കുക. ഈ വൃത്തം സമഭാജിയെ Q നടുത്തായി F ല്‍ ഖണ്ഡിക്കുന്നു. ഇപ്പോള്‍ DFE = 90 ഡിഗ്രി ആയിരിക്കും. DFE യില്‍ 60 ഡിഗ്രി കോണ്‍ നിര്‍മ്മിക്കാം. അതിന് DF ആരത്തില്‍ F കേന്ദ്രമായി ഒരു ചാപം വരച്ച് അതേ ആരത്തില്‍ D കേന്ദ്രമായി ഒരു ചാപം വരച്ചാല്‍ J യില്‍ ഖണ്ഡിക്കും. ഇത് 90 ഡിഗ്രിയെ മൂന്നാക്കി ഭാഗിക്കും.

അടുത്തതായി 180 ഡിഗ്രിയുള്ള ഒരു അര്‍ദ്ധവൃത്തം ഇപ്പോള്‍ D കേന്ദ്രമായി കാണാം. CD ആരത്തില്‍ E യില്‍ നിന്നും ഈ ചാപത്തിന് കുറുകെ H അടയാളപ്പെടുത്തിയാല്‍ 180 ഡിഗ്രിയെ 60 ഡിഗ്രി വീതമുള്ള മൂന്നെണ്ണമാക്കാം.

ഇനി BJ, JH എന്നിവയുടെ മധ്യലംബങ്ങള്‍ വരച്ചാല്‍ അവ O യില്‍ ഖണ്ഡിക്കും. O കേന്ദ്രമാക്കി OB ആരത്തില്‍ ഒരു ചാപം വരച്ചാല്‍ അത് PQRന്റെ ചാപത്തെ മൂന്നായി സമഭാഗം ചെയ്യും.